กนก วาดด้วยคณิต

กระหนก

คำที่แปลว่าทอง ลายที่เป็นเปลวไฟ

พจนานุกรมฉบับราชบัณฑิตยสถานเขียนชื่อลายนี้ว่า กระหนก คือลายไทยประเภทหนึ่ง ใช้ผูกเขียนเป็นลวดลาย มีทั้งระบายสี ปิดทองรดน้ำ ปั้น หรือแกะสลัก มีหลายแบบ เช่น กระหนกเปลว กระหนกก้านขด และเขียนเป็น กนก ก็มี ส่วนคำว่า กนก (กะ-หนก) เมื่ออยู่ลำพังแปลว่าทองคำ มาจากบาลีและสันสกฤต kanaka วิกิพีเดียภาษาไทยอ้างว่าสมเด็จฯ เจ้าฟ้ากรมพระยานริศรานุวัดติวงศ์ทรงสันนิษฐานว่า คำนี้เดิมใช้เรียกตู้ลายทอง แล้วจึงมาเรียกลายบนตู้นั้น

งานเขียนไทยแบ่งเป็นสี่หมวด คือ หมวดกระหนก ได้แก่ลวดลาย หมวดนารี ได้แก่ภาพมนุษย์และเทวดา หมวดกระบี่ ได้แก่ลิงและยักษ์ในรามเกียรติ์ และหมวดคชะ ได้แก่สัตว์ทั้งจริงและในป่าหิมพานต์ ตำราของครูช่างให้แม่ลายพื้นฐานห้าแบบ คือ แม่ลายกระจัง พุ่มข้าวบิณฑ์ ประจำยาม ดาว และกระหนก

ที่มาของรูปทรงยังเป็นที่ถกเถียง วิกิพีเดียภาษาไทยว่าต้นแบบมาจากหางไหล ซึ่งมาจากลักษณะของเปลวไฟ ครูบางท่านเพิ่มหางงูเข้าไปด้วย อาจารย์สันติ เล็กสุขุม ถูกอ้างว่าเห็นที่มาในลวดลายอินเดียสมัยคุปตะ และเห็นดอกบัวเป็นต้นแบบของกระหนกสามตัว แหล่งข้อมูลไทยยังนับยอดผักกูด เถาวัลย์ กาบไผ่ ใบฝ้ายเทศ และเปลวไฟ เป็นแบบของลายไทย

กระหนกสามตัวเป็นแม่ลาย ถือเป็นแม่แบบของกระหนกทั้งหลาย และเป็นจุดเริ่มของการเรียน ครูโรงเรียนช่างฝีมือในวังเริ่มสอนจากลายนี้ สำนักช่างสิบหมู่ กรมศิลปากร ดูแลช่างสิบหมู่ ได้แก่ ช่างเขียน ช่างแกะ ช่างสลัก ช่างกลึง ช่างหล่อ ช่างปั้น ช่างหุ่น ช่างรัก ช่างบุ และช่างปูน

ตัวเหงา

เกลียวที่รูปร่างไม่เปลี่ยน

ที่โคนของกนก เส้นจะม้วนเข้าเป็นขด เกลียวลอการิทึมเข้ากับขดนี้ได้ดี เกลียวแบบนี้ขยายด้วยอัตราเท่าเดิมทุกรอบ ขดเล็กกับขดใหญ่จึงมีรูปร่างเหมือนกัน และเส้นจะตัดเส้นรัศมีจากจุดศูนย์กลางด้วยมุมเท่ากันทุกเส้น

เกลียวอีกแบบที่พบบ่อยคือเกลียวอาร์คิมิดีส ซึ่งเพิ่มระยะห่างเท่าเดิมทุกรอบ เหมือนเสื่อที่ม้วนไว้ ลองสลับดูแล้วสังเกตช่องว่างระหว่างรอบ

อัตราขยาย

จำนวนรอบ

แต่ละรอบ–

มุมกับเส้นจากจุดศูนย์กลาง–

เกลียวลอการิทึมเขียนได้ว่า r = e^bθ r คือระยะจากจุดศูนย์กลาง θ คือมุมที่หมุนไป b คืออัตราขยาย ทุกหนึ่งรอบ r จะคูณด้วย e^2πb ครูสอนให้ขดหัวเหมือนก้นหอย ยังไม่มีงานตีพิมพ์ที่วัดว่าขดที่วาดด้วยมือเป็นเกลียวแบบไหน เกลียวลอการิทึมเป็นแบบจำลองของหน้านี้

กราฟเดียว

กราฟเดียววาดได้ทั้งเปลว

เส้นโค้งเส้นหนึ่งบอกได้ด้วยสิ่งเดียว คือมันโค้งมากแค่ไหนที่แต่ละจุดตามความยาว กราฟคือความโค้งของเปลวทองที่อยู่ข้างกัน ตั้งแต่ตาขดจนถึงปลาย เปลี่ยนกราฟ เปลวก็เปลี่ยนตาม

จำนวนรอบของขด

การสะบัดปลาย

จำนวนบาก

ความลึกของบาก

ใกล้ตาขด ความโค้งสูงมากแล้วลดลงเป็นหนึ่งส่วนระยะทาง κ = a / s ส่วนนี้คือเกลียวลอการิทึม ช่วงกลางความโค้งเกือบเป็นศูนย์ ตัวเปลวจึงเกือบตรง ใกล้ปลายความโค้งติดลบ เส้นโค้งกลับอีกทาง ปลายจึงสะบัด

นักคณิตศาสตร์เรียกสิ่งนี้ว่าสมการธรรมชาติของเส้นโค้ง คือความโค้งตามความยาว โดยไม่สนว่าเส้นอยู่ตรงไหนบนกระดาษ รวมความโค้งได้ทิศทาง รวมทิศทางได้เส้น บากบนหลังกระหนกวางซ้อนลงไปอีกชั้น เป็นฟันเลื่อยที่ค่อย ๆ ขึ้นแล้วตกฉับ ปลายแต่ละบากถูกดันไปทางยอด

กนกสามตัว

กระหนกสามตัว

แม่ลายนี้มีสามตัว ตัวเหงา คือตัวขด อยู่ล่างสุดและอยู่หน้า ตัวประกบหรือกาบ อยู่หลังตัวเหงา และตัวยอด คือเปลวที่ปลาย พจนานุกรมฉบับราชบัณฑิตยสถานให้ความหมายของ เหงา ว่าชื่อลายกระหนกตัวแรก บทเรียนในโรงเรียนเล่นคำว่าตัวเหงาก้มหน้าดูเศร้า ๆ เหงา ๆ

สูตรหนึ่ง: ร่างสี่เหลี่ยมผืนผ้าตั้งสัดส่วน 4 ต่อ 2 ลากเส้นทแยง วางกาบไว้มุมล่างซ้าย ลากเส้นจากโคนเข้าหัว แล้วขึ้นไปถึงยอดที่มุมบนขวา ลากกลับลงมาเป็นเปลว แบ่งเป็นสามตัว บาก แล้วใส่ไส้ ครูอีกท่านใช้สามเหลี่ยมมุมฉากสูง 3 กว้าง 2 และให้หัวกระหนกล้นออกนอกกรอบเล็กน้อย กระหนกจะดูมีชีวิต

แต่ละตัวในภาพนี้คือเปลวหนึ่งตัวจากกราฟความโค้งข้างบน เส้นคือขอบหน้า ตัวลายห้อยอยู่ด้านหลังเส้น และหัวเต็มไปด้วยทองระหว่างรอบของขด ภาพลายเส้นต้นแบบอยู่เป็นภาพแรกในหัวข้อภาพ

เปลวบนเปลว

กนกในกนก

บากแต่ละบากบนหลังกระหนกจบด้วยเปลวเล็ก ๆ ลองให้ทุกบากงอกเป็นกระหนกทั้งตัว แล้วให้ทุกบากของตัวใหม่งอกต่อไปอีก ช่างสถาปัตย์พูดถึงตัวกระหนกที่ซ้อนกัน และรายงานวิจัยของมหาวิทยาลัยบูรพาปี 2557 ตั้งใจจำลองรูปแบบแฟร็กทัลของกระหนก การซ้อนแบบนี้เป็นของหน้านี้เอง

ถ้ามีสามบาก และตัวลูกมีขนาด r เท่าของตัวแม่ ชั้นที่ n จะมี 3ⁿ เปลว แต่ละเปลวมีพื้นที่ r²ⁿ ของเปลวแรก ทองทั้งหมดรวมเป็นอนุกรมเรขาคณิต 1 + 3r² + (3r²)² + … ซึ่งเข้าใกล้ 1 / (1 − 3r²) เท่าของเปลวแรก ตราบที่ 3r² < 1 ถ้า r เกินราว 0.58 ทองจะเพิ่มไม่สิ้นสุด

จำนวนชั้นขนาดของตัวลูก

จำนวนเปลว–

ทองทั้งหมด ถ้าซ้อนไปไม่สิ้นสุด–

จำนวนเปลวนับได้ตรง ส่วนที่ซ้อนทับนับซ้ำ ตัวเลขทองจึงเป็นค่าสูงสุด

ลายก้านขด

พจนานุกรมฉบับราชบัณฑิตยสถานให้ความหมายว่า ลายที่เขียนเป็นลายขดไปขดมา ก้านเลื้อยเป็นคลื่นไปตามแถบ จากแต่ละไหล่คลื่นมีก้านแยกออก โค้งแรงขึ้นเรื่อย ๆ จนม้วนเป็นขดในแอ่งถัดไป เปลวกนกงอกอยู่ด้านนอกของแต่ละขด

ก้านแยกคือขดของเปลวที่เดินจากอีกด้าน ความโค้งเท่าเดิม κ = a / (L − s) แต่นับถอยจากปลายก้าน มันจึงม้วนแน่นขึ้นเรื่อย ๆ กดเฉพาะเส้นเพื่อดูโครง

จำนวนคลื่น

จำนวนรอบของขด

เปลวต่อขด

คลื่นคือโคไซน์ ก้านแยกเริ่มที่จุดชันที่สุด เลี้ยวซ้ายหลังยอดคลื่น เลี้ยวขวาหลังท้องคลื่น

ลายหน้ากระดาน

เจ็ดวิธีซ้ำลายตามแถบ

ลายหน้ากระดานคือลายแถบยาวบนพื้นตั้งระหว่างบัว ซ้ำลายเดียวไปตามแถบ ไม่ว่าจะวาดอย่างไร แถบที่ซ้ำลายต้องใช้หนึ่งในเจ็ดแบบของการเลื่อน การพลิก และการหมุนครึ่งรอบ นักคณิตศาสตร์เรียกว่ากรุปลายแถบ (frieze group) เจ็ดกรุป

การสำรวจปราสาทหินแบบเขมรเจ็ดแห่งในอีสานใต้เมื่อปี 2566 พบสี่ในเจ็ดแบบ คือ p2mm p1 p1m1 และ p11m ยังไม่มีงานตีพิมพ์ที่นับลายหน้ากระดานภาคกลาง

รอบจุดเดียว

หมุนเปลวรอบจุดศูนย์กลาง n ครั้ง ได้สมมาตรการหมุน C_n เพิ่มกระจกเข้าไป ได้ D_n ซึ่งมีวิธีขยับที่ภาพไม่เปลี่ยนมากขึ้นสองเท่า ลายดอกรอบจุดทุกลายมีสมมาตรแบบใดแบบหนึ่งในสองแบบนี้ สำหรับ n สักค่า

จำนวนตัวรอบจุดศูนย์กลาง

สมมาตร–

ประจำยาม ดอกสี่กลีบที่วางคั่นลายอื่น สมมาตรทั้งแกนตั้งและแกนนอน คือ D4

วาด

วาดเอง

ลากเส้นด้วยนิ้วหรือเมาส์ ยกนิ้วเมื่อไร ปลายเส้นจะม้วนเป็นขดด้วยความโค้งแบบเดียวกับก้านขด แล้วงอกเปลวกนกสลับซ้ายขวา วาดกี่เส้นก็ได้ แล้วบันทึกภาพ

อยู่ที่ไหน

ทองบนรักดำ

ลายรดน้ำ คือการปิดทองคำเปลวบนพื้นลงรักสีดำ แล้วรดน้ำในขั้นสุดท้าย ทองจึงติดอยู่เฉพาะตรงที่เป็นลาย พบบนบานประตู หน้าต่าง ผนัง และตู้พระธรรมที่เก็บคัมภีร์ใบลาน กระหนกยังเต็มอยู่บนหน้าบันจำหลัก หัวโขนและเครื่องศิราภรณ์ เครื่องเบญจรงค์ งานประดับมุก และปูนปั้นปิดทองประดับกระจก

สำหรับหน้าบัน บานประตู หรือตู้ ช่างเขียนลายครึ่งเดียว ลอกลงกระดาษไข พลิกกระดาษ แล้วทาบให้ตรงเส้นกลาง ได้ความสมมาตรแบบกระจกด้วยมือ

นิทรรศการ ทำ-ลาย ของศิลปิน กชวัช บูรณภิญโญ เปลี่ยนตัวกระหนกเป็นหมา แมว เป็ด และนกการ์ตูนที่ตัวงอได้ แต่ไม่มีกบหรือคางคก เพราะตัวกลม ๆ ไปตามแม่ลายไม่ได้

กระหนกสามตัว แม่ลายที่ผู้เรียนลายไทยฝึกเขียนเป็นอย่างแรก วางในกรอบสี่เหลี่ยมผืนผ้าตั้ง แต่ละตัวมีขดและเส้นไส้ Paul_012 · Public domain (PD-ineligible; also released CC0 1.0)

ลายรดน้ำบนบานประตู วัดกษัตราธิราช อยุธยา ตัวกระหนกเรียงซ้ำเต็มพื้นที่ Photo Dharma from Sadao, Thailand · CC BY 2.0

ตู้พระธรรมลายรดน้ำสมัยอยุธยา ในหอพระไตรปิฎก วัดระฆังโฆสิตาราม กรุงเทพฯ Heinrich Damm (User:Hdamm, Hdamm at de.wikipedia.org) · CC BY 3.0

หน้าบันจำหลักปิดทอง วัดราชบุรณราชวรวิหาร กรุงเทพฯ ลายกระหนกเต็มพื้นที่สามเหลี่ยม กสิณธร ราชโอรส · CC BY-SA 3.0

โขนเรือพระที่นั่งสุพรรณหงส์ จำหลักรูปหงส์ ลงรักปิดทองประดับกระจก (ซ้อมใหญ่ 29 ต.ค. 2550) Lerdsuwa · CC BY-SA 3.0

ปูนปั้นล้านนา ซุ้มประตูโขง วัดพระธาตุลำปางหลวง ลายกระหนกและลายเปลวซ้อนกันหลายชั้น Ziegler175 · CC BY-SA 3.0

วิหารหลวง วัดพระธาตุลำปางหลวง เสาลงรักดำ ประดับลายคำ (ลายทองฉลุ) ErwinMeier · CC BY-SA 4.0

ภายในวิหารลายคำ วัดพระสิงห์วรมหาวิหาร เชียงใหม่ งานลายคำล้านนาสีแดงและทองรอบพระพุทธสิหิงค์ Christophe95 · CC BY-SA 4.0

ลายรดน้ำบนบานประตู วัดพระธาตุดอยสุเทพ เชียงใหม่ รูปเทวดาในกรอบลายกระหนก Dinkum · CC0

ทางเหนือ

ในล้านนาเรียกทองว่า คำ ลายคำมักลงบนพื้นชาดสีแดง และที่วัดพระธาตุลำปางหลวงลงบนพื้นรักดำด้วย ทองติดลงผ่านแม่พิมพ์ฉลุ หรือขูดลาย หรือทั้งสองอย่าง แม่พิมพ์มีลายกระหนก ลายดอกไม้ ลายเรขาคณิต และเทพนม วัดพระสิงห์ เชียงใหม่ มีวิหารลายคำ

ปูนปั้นล้านนายุคแรก เช่นที่วัดป่าสัก เชียงแสน หนาและซ้อนหลายชั้น ได้อิทธิพลจากหริภุญชัย พุกาม สุโขทัย เขมร และลังกา ต่อมาช่างธรรมาสน์อยุธยายืมลายล้านนาไปใช้ รวมถึงตัวเหงาที่มุม

ศัพท์

กระหนก · กนกkranok

ลายรูปเปลวไฟ กนก คำเดียวแปลว่าทอง

ตัวเหงาtua ngao

ตัวขด ตัวแรกและตัวล่างสุดของกระหนก

ตัวประกบ · กาบtua prakop · kap

ตัวที่อยู่หลังตัวเหงา

ตัวยอดtua yot

เปลวที่พุ่งขึ้นไปถึงยอด

บากbak

รอยบากบนหลังตัวลาย มีบากเข้าและบากออก

ไส้sai

เส้นใน เขียนอ่อนกว่าเส้นรูป

แม่ลายmae lai

ลายตอนที่เป็นประธาน ซ้ำ ๆ กันเป็นแถว

หางไหลhang lai

ลายหางปลาไหล เส้นคล้ายเปลวที่เป็นโครงของกระหนกเปลว

กระหนกเปลวkranok plaeo

กระหนกที่ปลายสะบัดเหมือนเปลว ราวหกถึงเจ็ดบากต่อตัว

กระหนกใบเทศkranok bai thet

กระหนกที่มีกาบ บากเข้าบากออก และไส้

ลายก้านขดlai kan khot

ลายที่เขียนเป็นก้านขดไปขดมา

ลายกระจังlai krachang

ลายในรูปสามเหลี่ยม เรียงตามขอบ

ประจำยามprachamyam

ดอกไม้สี่กลีบ วางเป็นระยะคั่นลายอื่น

ลายหน้ากระดานlai na kradan

ลายแถบยาวบนพื้นตั้งระหว่างบัว

ลายรดน้ำlai rot nam

ทองบนพื้นรักดำ รดน้ำในขั้นสุดท้าย

ลายคำlai kham

ลายทองล้านนา มักลงบนพื้นแดง

ช่างสิบหมู่chang sip mu

ช่างสิบประเภท และชื่อสำนักในกรมศิลปากร

ที่มา

ข้อเท็จจริงมาจากแหล่งเหล่านี้ ส่วนวิธีวาด การเทียบกับเกลียว และการซ้อนกนก เป็นของหน้านี้เอง นักวิจัยไทยเคยสร้างกระหนกด้วยเส้นโค้งเบซิเย (ศิลปากร 2551 บูรพา 2557) และจำลองบากแต่ละบากเป็นเส้นโค้งรูปตัว S สองเส้น (มจธ. 2566)