รูปร่างที่ประกอบขึ้นจากสำเนาเล็ก ๆ ของตัวมันเอง

เล่นกับแฟร็กทัล

ซูม พับ ปลูก และโปรย ภาพในหน้านี้งอกขึ้นสด ๆ จากกฎเพียงหนึ่งหรือสองข้อ

Play with Fractals · ของเล่นเก้าชิ้น ภาษาไทยและอังกฤษ
nanobotco.github.io/fractals

แฟร็กทัล

แตกเป็นชิ้น และเหมือนเดิมไปจนสุดทาง

แฟร็กทัลคือรูปร่างที่มีสำเนาขนาดเล็กของตัวเองอยู่ข้างใน และในสำเนานั้นก็มีสำเนาที่เล็กลงไปอีก ลึกลงไปเท่าที่อยากดู ใบเฟิร์นหนึ่งใบประกอบด้วยใบเฟิร์นเล็ก ๆ กิ่งไม้หนึ่งกิ่งดูเหมือนต้นไม้ต้นเล็ก ชายฝั่งช่วงสั้น ๆ ดูเหมือนชายฝั่งทั้งเส้น

เบอนัว ม็องแดลโบรต ตั้งชื่อนี้ในปี 1975 จากคำละติน fractus ที่แปลว่าแตกหัก ก่อนหน้านั้นนักคณิตศาสตร์วาดรูปแบบนี้มาร้อยปีแล้ว และเรียกมันว่าสัตว์ประหลาด เพราะมันฝ่ากฎเดิมเรื่องความยาว พื้นที่ และมิติ

แฟร็กทัลส่วนใหญ่เกิดจากกฎสั้น ๆ ที่ทำซ้ำหลายครั้ง ของเล่นแต่ละชิ้นข้างล่างบอกกฎของมันไว้ กดปุ่มแล้วดูมันทำงาน

เฮลเกอ ฟอน ค็อค ปี 1904

เกล็ดหิมะที่ขอบยาวไม่รู้จบ

เริ่มจากสามเหลี่ยมหนึ่งรูป แบ่งแต่ละด้านเป็นสามส่วน แล้วตั้งสามเหลี่ยมเล็ก ๆ ขึ้นบนส่วนกลาง ทำแบบเดียวกันกับด้านใหม่ แล้วทำอีก

แต่ละขั้นเปลี่ยนด้านหนึ่งด้านเป็นสี่ด้าน ยาวด้านละหนึ่งในสาม เส้นรอบรูปจึงยาวขึ้น 4/3 เท่า สิบขั้นยาวขึ้น 18 เท่า ร้อยขั้นยาวขึ้นสามล้านล้านเท่า ส่วนพื้นที่โตขึ้นน้อยลงทุกขั้น และไปหยุดที่ 8/5 ของสามเหลี่ยมแรก เป็นเส้นรอบรูปที่ยาวไม่สิ้นสุด ล้อมพื้นที่ที่ทาสีได้หมด

ขั้น

จำนวนด้าน–

เส้นรอบรูป–

พื้นที่–

ขั้นที่ 7 มี 49,152 ด้าน พิกเซลบนจอหมดก่อนกฎจะหมดขั้นเสียอีก ปุ่ม ซูมไม่รู้จบ พาไล่ลงไปตามด้านหนึ่ง หนึ่งในสามของด้านหน้าตาเหมือนทั้งด้าน ภาพจึงวนซ้ำได้

เกมเสี่ยงทาย

ทอยลูกเต๋า ได้สามเหลี่ยม

วางมุมสามมุมบนหน้ากระดาษ แล้ววางจุดไว้ตรงไหนก็ได้ สุ่มเลือกมุมหนึ่ง เลื่อนจุดไปครึ่งทางสู่มุมนั้น แล้วทำเครื่องหมายตรงที่จุดตก ทำซ้ำ

หลายคนคิดว่าจะได้รอยเปื้อนมั่ว ๆ แต่ที่ออกมาคือสามเหลี่ยมของวาตสวัฟ เซียร์ปินสกี จากปี 1915 สามเหลี่ยมที่เจาะตรงกลางออก แล้วเจาะกลางของสามรูปที่เหลือ ไล่ลงไปเรื่อย ๆ ไมเคิล บาร์นสลีย์ เรียกวิธีนี้ว่าเกมความอลวน

ลองเปลี่ยนจำนวนมุมและระยะกระโดด ปุ่ม พอดี เลือกระยะที่ทำให้สำเนาแตะกันพอดี สี่มุมกับกระโดดครึ่งทางจะถมสี่เหลี่ยมจนเต็ม แต่ถ้าห้ามเลือกมุมเดิมซ้ำ ลวดลายจะกลับมา

มุม ระยะกระโดด (สัดส่วนของทาง)

จุด–

แตะภาพเพื่อวางจุดใหม่ ปุ่ม กระโดดทีละครั้ง วาดการเคลื่อนเป็นเส้นให้ดู

กิ่งก้าน

ต้นไม้จากกฎข้อเดียว

วาดลำต้น ที่ปลายลำต้นวาดกิ่งที่สั้นกว่าสองกิ่ง เอียงซ้ายหนึ่ง ขวาหนึ่ง แล้วถือว่าแต่ละกิ่งเป็นลำต้นใหม่ ทำซ้ำ

ทุกชั้นปลายกิ่งเพิ่มเป็นสองเท่า สิบชั้นได้ 1,024 ปลาย สิบสามชั้นได้ 8,192 ถ้ากิ่งแต่ละกิ่งยาวไม่ถึงครึ่งของกิ่งแม่ ความยาวรวมของทั้งต้นจะมีขอบเขต ต่อให้เพิ่มชั้นไปเท่าไรก็ตาม ถ้ายาวครึ่งหนึ่งหรือมากกว่า ความยาวรวมจะโตไม่มีที่สิ้นสุด

ชั้น

มุม

ย่อ

ลม

ปลายกิ่ง–

ความยาวรวม–

แม่น้ำ ปอด ฟ้าผ่า และเส้นเลือด แตกกิ่งแบบเดียวกัน ลากผ่านต้นไม้เพื่อให้มันเอน

สี่ท่า

เฟิร์นจากสี่ท่า

เฟิร์นของไมเคิล บาร์นสลีย์ จากหนังสือ Fractals Everywhere ปี 1988 คือเกมความอลวนที่ใช้สี่ท่าแทนมุม แต่ละท่าย่อ หมุน และเลื่อนทั้งภาพ ท่าหนึ่งสร้างก้าน ท่าหนึ่งสร้างส่วนที่เหลือของใบเหนือใบย่อยคู่ล่างสุด ท่าหนึ่งสร้างใบย่อยซ้าย อีกท่าสร้างใบย่อยขวา

ท่าใหญ่ถูกสุ่มได้ 85 ครั้งในร้อย ก้าน 1 ครั้ง ใบย่อยข้างละ 7 ครั้ง สุ่มท่า ใช้กับจุด ทำเครื่องหมาย ทำซ้ำ ตัวเลื่อน เอน และ ใบย่อย เปลี่ยนตัวเลขในท่า ปุ่ม แยกสีตามท่า บอกว่าจุดแต่ละจุดมาจากท่าไหน

เอน ใบย่อย

จุด–

พับกระดาษ

พับแถบกระดาษ ได้มังกร

พับแถบกระดาษครึ่งหนึ่ง พับครึ่งอีกครั้งไปทางเดิม แล้วพับอีก คลี่ออกให้รอยพับแต่ละรอยเป็นมุมฉาก พับสิบครั้งได้ 1,024 ท่อน เป็นรูปมังกร

นักฟิสิกส์ของนาซา จอห์น ไฮเวย์ บรูซ แบงส์ และวิลเลียม ฮาร์เตอร์ เป็นผู้พบ มาร์ติน การ์ดเนอร์ นำไปเขียนในนิตยสาร Scientific American ปี 1967 เส้นนี้แตะตัวเองที่มุมแต่ไม่ตัดกัน และมังกรสี่ตัวที่หันไปสี่ทิศต่อกันรอบจุดเดียวได้โดยไม่ซ้อนทับ

รอยพับอ่านได้ว่า ข ข ซ ข ข ซ ซ ข ข ข ซ ซ ข ซ ซ … (ข = ขวา ซ = ซ้าย) เรียกว่าลำดับการพับกระดาษ รอยพับลำดับคี่สลับ ข ซ ส่วนลำดับคู่ซ้ำทั้งลำดับเดิม

พับ

ท่อน–

รอยพับ

z → z² + c

เซตม็องแดลโบรต

เลือกจุด c บนภาพ จุดนั้นแทนจำนวนที่มีสองส่วน เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน เริ่มจากศูนย์ ยกกำลังสองแล้วบวก c เอาคำตอบมายกกำลังสองแล้วบวก c อีก ทำซ้ำ

บางจุดพุ่งหนีออกไป บางจุดวนอยู่ใกล้บ้านไม่ว่าจะทำไปนานแค่ไหน จุดที่อยู่รวมกันเป็นรูปสีเข้ม สีของที่เหลือบอกว่ามันหนีเร็วแค่ไหน เลื่อนเมาส์บนภาพ หรือแตะ เพื่อดูเส้นทางของจุดนั้น

จุดแวะ

จำนวนรอบ

สี

ซูม–

จุด–

เส้นทาง–

ลากเพื่อเลื่อน หมุนล้อหรือถ่างนิ้วเพื่อซูม ดับเบิลคลิกเพื่อดำดิ่ง ตามขอบมีสำเนาเล็ก ๆ ของทั้งเซตเรียงอยู่ เชื่อมกันด้วยเส้นใย และตามขอบของสำเนาก็มีอีก ของเล่นนี้หยุดที่ราว 200,000 เท่า ตรงที่ตัวเลขในคอมพิวเตอร์หมดหลัก แต่เซตยังไปต่อ

โรเบิร์ต บรูกส์ และปีเตอร์ มาเทลสกี พิมพ์ภาพหยาบ ๆ ของมันในปี 1978 ภาพของม็องแดลโบรตที่ IBM ตั้งแต่ปี 1980 ทำให้มันโด่งดัง พื้นที่ของมันประมาณ 1.5066 ปี 1998 มิตสึฮิโระ ชิชิกุระ พิสูจน์ว่าขอบของมันมีมิติเท่ากับ 2 หยักมากที่สุดเท่าที่เส้นบนระนาบจะหยักได้

c หนึ่งค่า ภาพหนึ่งภาพ

เซตจูเลีย

ตรึง c ไว้ แล้วให้แต่ละจุดบนภาพเริ่มจากตำแหน่งของตัวเองแทนที่จะเริ่มจากศูนย์ จุดที่วนอยู่ใกล้บ้านรวมกันเป็นเซตจูเลีย ตั้งชื่อตามกัสตอง จูเลีย ผู้ศึกษามันในปี 1918 ขณะที่ปีแยร์ ฟาตู ก็ศึกษาเรื่องเดียวกัน โดยไม่มีคอมพิวเตอร์ช่วยวาด

เลื่อนบนแผนที่เล็กเพื่อเลือก c ถ้า c อยู่ในเซตม็องแดลโบรต เซตจูเลียจะเป็นชิ้นเดียว ถ้าอยู่นอก มันจะแตกเป็นผงฝุ่น ภาพที่พิสดารที่สุดอยู่ใกล้ขอบ

แผนที่ของ c

c–

–

ชายฝั่งยาวเท่าไร

วัดความยาวชายฝั่ง

ลูอิส ฟราย ริชาร์ดสัน วัดชายฝั่งและเส้นพรมแดนด้วยไม้บรรทัดที่สั้นลงเรื่อย ๆ และผลรวมก็ยาวขึ้นเรื่อย ๆ สเปนกับโปรตุเกสให้ความยาวพรมแดนร่วมกันต่างกันกว่า 200 กิโลเมตร ตัวเลขของเขาตีพิมพ์ในปี 1961 หลังเขาเสียชีวิต ม็องแดลโบรตนำไปต่อยอดในปี 1967 ในบทความ “ชายฝั่งของบริเตนยาวเท่าไร”

ลองเดินวงเวียนวัดไปตามชายฝั่งสมมุติข้างล่าง ลดไม้บรรทัดลงครึ่งหนึ่ง ชายฝั่งจะยาวขึ้นราวหนึ่งในห้า พล็อตความยาวกับขนาดไม้บรรทัดบนสเกลลอการิทึม จุดจะเรียงเป็นเส้นตรง หนึ่งลบความชันคือมิติ เส้นโค้งเรียบได้ 1 ชายฝั่งนี้ได้ราว 1.26 และชายฝั่งตะวันตกของบริเตนได้ราว 1.25 ตามตัวเลขของริชาร์ดสัน

ไม้บรรทัด

ก้าว–

ความยาว–

มิติ–

ชายฝั่งนี้ยาว 1,000 กิโลเมตรจากปลายถึงปลาย ต่ำกว่าราว 2 กิโลเมตร ชายฝั่งสมมุติจะหมดรอยหยักและหยุดยาวขึ้น ชายฝั่งนอกบ้านหยักต่อลงไปถึงก้อนหินและเม็ดทราย

มิติ

สร้างเอง

ตัดเส้นตรงเป็น 3 ส่วน ได้สำเนา 3 ชิ้น ขนาดหนึ่งในสาม: 3 = 3¹ สี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ 9 = 3² ลูกบาศก์ได้ 27 = 3³ เลขชี้กำลังคือมิติ เส้นโค้งค็อคได้สำเนา 4 ชิ้น ขนาดหนึ่งในสาม: 4 = 3^D ดังนั้น D = log 4 / log 3 ≈ 1.26 อยู่ระหว่างเส้นกับระนาบ

ลากจุดบนเส้นหัก แตะบนเส้นเพื่อเพิ่มจุด แตะสองครั้งที่จุดเพื่อลบ เส้นตรงแต่ละท่อนจะถูกแทนด้วยเส้นหักทั้งเส้น ชั้นแล้วชั้นเล่า ถ้าท่อนยาว r₁, r₂, … มิติ D คือคำตอบของ r₁^D + r₂^D + … = 1

เริ่มจาก

ชั้น

ท่อน–

มิติ–

ส่วนของเส้น–

ถ้าท่อนตัดกันหรือซ้อนทับกัน รูปจะเต็มน้อยกว่าที่ตัวเลขนี้บอก

นอกบ้าน

พบในธรรมชาติ

แฟร็กทัลในธรรมชาติหมดลงหลังไม่กี่ชั้น ที่ขนาดของเซลล์หรือผลึกน้ำแข็ง แต่ลวดลายยังเห็นชัด กะหล่ำโรมาเนสโกในภาษาไทยเรียกว่ากะหล่ำดอกเจดีย์

ลายไทยก็งอกเปลวบนเปลว ดูได้ที่ กนก วาดด้วยคณิต

กะหล่ำดอกเจดีย์: กรวยซ้อนกรวย เรียงเป็นเกลียว Ivar Leidus · CC BY-SA 4.0

ยอดเฟิร์นนกกระจอกเทศกำลังคลี่ ขดในขด The Cosmonaut · CC BY-SA 2.5 ca

พระปรางค์องค์กลาง วัดอรุณฯ กรุงเทพฯ: ปรางค์องค์เล็กรับปรางค์องค์ใหญ่ ซ้อนกันเป็นชั้น ๆ Diego Delso · CC BY-SA 3.0

ปากแม่น้ำลีนา ไซบีเรีย จากดาวเทียมแลนด์แซต 7 ปี 2000 NASA / USGS EROS Data Center (Landsat 7) · Public domain

ฟ้าแลบเหนือเมืองออลเบอรี รัฐนิวเซาท์เวลส์ แตกกิ่งไปตลอดทาง Thennicke · CC BY-SA 4.0

เกล็ดหิมะที่วิลสัน เบนต์ลีย์ ถ่ายไว้ที่รัฐเวอร์มอนต์ ปี 1902 Wilson Bentley · Public domain

ประวัติ

จากสัตว์ประหลาดสู่ภาพ

1883เกออร์ก คันทอร์ เอาเส้นตรงมาตัดหนึ่งในสามตรงกลางออก แล้วตัดหนึ่งในสามตรงกลางของส่วนที่เหลือ ไม่รู้จบ เหลือเป็นผงฝุ่น
1904เส้นโค้งเกล็ดหิมะของเฮลเกอ ฟอน ค็อค เส้นโค้งที่ไม่มีเส้นสัมผัสที่จุดใดเลย
1915สามเหลี่ยมของวาตสวัฟ เซียร์ปินสกี
1918กัสตอง จูเลีย และปีแยร์ ฟาตู คิดเรื่องเซตจูเลียบนกระดาษ
1961ผลการวัดชายฝั่งและพรมแดนของลูอิส ฟราย ริชาร์ดสัน ได้ตีพิมพ์
1967ม็องแดลโบรตถามว่าชายฝั่งของบริเตนยาวเท่าไร คอลัมน์ของมาร์ติน การ์ดเนอร์ ลงเรื่องเส้นโค้งมังกร
1975ม็องแดลโบรตตั้งคำว่าแฟร็กทัล
1978โรเบิร์ต บรูกส์ และปีเตอร์ มาเทลสกี พิมพ์ภาพแรกของเซตม็องแดลโบรต
1980ภาพจากคอมพิวเตอร์ของม็องแดลโบรตที่ IBM
1982หนังสือ The Fractal Geometry of Nature
1988หนังสือ Fractals Everywhere ของไมเคิล บาร์นสลีย์: เฟิร์นและเกมความอลวน
1998มิตสึฮิโระ ชิชิกุระ: ขอบของเซตม็องแดลโบรตมีมิติเท่ากับ 2

คำศัพท์

แฟร็กทัลfractal

รูปที่มีสำเนาขนาดเล็กของตัวเองอยู่ข้างใน

คล้ายตัวเองself-similar

ส่วนหนึ่งหน้าตาเหมือนทั้งหมด

ทำซ้ำiterate

ป้อนคำตอบกลับเข้ากฎเดิม

มิติdimension

เลขชี้กำลัง D ใน จำนวนสำเนา = อัตราย่อ^D

จำนวนเชิงซ้อนcomplex number

จำนวนที่มีสองส่วน วาดเป็นจุดบนระนาบ

เวลาหนีescape time

จำนวนรอบก่อน z ออกนอกวงกลมรัศมี 2

เกมความอลวนchaos game

การกระโดดแบบสุ่มที่วาดภาพตายตัว

ระบบฟังก์ชันวนซ้ำiterated function system

ชุดท่าที่ย่อภาพ อย่างในเฟิร์น

ปฏิทรรศน์แนวชายฝั่งcoastline paradox

ความยาวชายฝั่งขึ้นกับไม้บรรทัด

เกล็ดหิมะค็อคKoch snowflake

เส้นรอบรูปยาวไม่รู้จบ พื้นที่ 8/5 ของสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมเซียร์ปินสกีSierpiński triangle

สำเนา 3 ชิ้นขนาดครึ่งหนึ่ง มิติ 1.585

เส้นโค้งมังกรdragon curve

กระดาษพับครึ่งซ้ำ ๆ ขอบมีมิติ 1.524

เซตม็องแดลโบรตMandelbrot set

จุด c ที่เส้นทางจากศูนย์วนอยู่ใกล้บ้าน

เซตจูเลียJulia set

สำหรับ c ค่าหนึ่ง คือจุดเริ่มที่วนอยู่ใกล้บ้าน

กะหล่ำดอกเจดีย์Romanesco

กะหล่ำที่มีกรวยประกอบจากกรวย

แหล่งข้อมูล

ข้อเท็จจริงในหน้านี้มาจากแหล่งเหล่านี้ ภาพถ่ายมาจากวิกิมีเดียคอมมอนส์ ให้เครดิตไว้ใต้ภาพแต่ละภาพ